# Cinematica del punto ## Notazione con Coordinate cartesiane $\vec P = x \vec i +y \vec j$ $\vec V = \dot x(t) \vec i + \dot y(t) \vec j$ Dove $\vec i$ e $\vec j$ sono i vettori unitari del sistema di riferimento (versori). ## Notazione con Numeri Complessi $\vec P = x + y i$ $\vec V = \dot x(t) + \dot y(t) i$ Dove $i$ è l'unità immaginaria. Di conseguenza il numero complesso può a sua volta essere scritto con la notazione polare... ## Notazione Polare $\vec P=Pe^{\theta i}$ $\vec V= \dot Pe^{\theta i} + P \dot \theta i e^{\theta i}$ ## Ripasso prodotto vettoriale e scalare ### Prodotto vettoriale $\vec c = \vec b \wedge \vec a$ Il prodotto vettoriale di due vettori è un terzo vettore con direzione ricavabile tramite la regola della mano destra e modulo $ba \sin(\alpha)$, dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra $\vec b$ e $\vec{a}$ . Verrà utilizzato spesso per calcolare la velocità tangenziale di un punto che si muove lungo orbita circolare di raggio R ad esempio e con una certa velocità angolare.  ### Prodotto scalare $\vec c = \vec b \cdot \vec a$ Il prodotto scalare di due vettori è uno scalare uguale a $ba \cos(\alpha)$, dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra $\vec b$ e $\vec{a}$ . Il prodotto scalare verrà spesso utilizzato per calcolare la potenza di coppie e forze o per calcolare la derivata dell'energia cinetica. ## Ripasso regola di Kramer per sistemi Comoda in alcuni casi per risparmiare conti.  ## Rivals per la velocità La velocità **assoluta** di un punto qualsiasi di un corpo rigido rispetto a un altro punto qualsiasi $O$ è data dalla sovrapposizione di 2 contributi: 1) contributo di traslazione di un suo punto arbitrario $O$ 2) contributo di rotazione del corpo rigido attorno al punto scelto, rispetto ad un asse perpendicolare al piano del moto $\vec{x} = \vec{v_o} + \vec \omega \wedge(X-O) $ ## Rivals per l'accelerazione L'accelerazione **assoluta** di un punto qualsiasi di un corpo rigido rispetto ad un altro punto qualsiasi $O$ è data dalla sovrapposizione di 3 contributi: 1) contributo di traslazione o trascinamento di un suo punto arbitrario $O$ 2) accelerazione tangenziale 3) accelerazione centripeta $\vec{x} = \vec{a_o} + \dot {\vec \omega} \wedge(X-O) + \vec \omega \wedge [\vec \omega \wedge(X-O) ]$ ## Moti relativi per le velocità $(P-O) = (O_1 - O) + (P-O_1)$ scrivendo $(P-O_1)=x_p\vec{i}+y_p\vec{j}$ posso derivare tranqui $(P-O)$ e $(O_1 - O)$ ma non $(P-O_1)$ in quanto i primi 2 avranno fissi i versori $\vec{i}$ e $\vec{j}$ mentre l'ultima componente non avrà i versori fissati, ma essi potranno cambiare 'orientamento' (poichè la terna mobile in $O_1$ può ruotare su sè stessa). Dobbiamo calcolare per l'ultima componente la derivata di un prodotto quindi $\leftarrow$ ma questo sarà sbatti. $\dot{x_p}\vec{i}+\dot{y_p}\vec{j}=\dot{x_{o_1}}\vec{i}+\dot{y_{o_1}}\vec{j}+\dot{x_{p_1}}\vec{i}+ \dot{y_{p_1}}\vec{j} + {x_{p_1}}\vec{\dot{i}} +{y_{p_1}}\vec{\dot{j}}$ La dimostrazione consiste di vedere la terna come 'un corpo rigido' e utilizzare Rivals per le velocità: il tutto per calcolare le 2 derivate rispetto al tempo dei versori del sistema di riferimento mobile. Sappiamo per Rivals per le velocità che $\vec{p} = \vec{v_{o_1}} + \vec \omega \wedge(P- O_1)$ , quindi possiamo eguagliare le equazioni e dire che ${x_{p_1}}\vec{\dot{i}} +{y_{p_1}}\vec{\dot{j}}$ è esprimibile come $\vec \omega \wedge(P-O_1)$ . Quindi il contributo dato dalle componenti con $\vec{\dot{i}}$ e $\vec{\dot{j}}$ può essere espresso come un contributo di rotazione rispetto al centro della terna. Nota che $\omega = \dot \phi \vec{k}$ dove $\phi$ è l'angolo dei vettori $\vec i$ e $\vec j$ della terna centrata in $O_1$ rispetto ai vettori **assoluti** della terna centrata in $O$ . ### Formule di Poisson Quindi eccoci con le **formule di Poisson**: $\dot{\vec i} = \vec \omega \wedge \vec{i_1}$ $\dot{\vec j} = \vec \omega \wedge \vec{j_1}$ e ci consentono di calcolare le 2 derivate rispetto al tempo dei versori del sistema di riferimento mobile. Per concludere, la derivata di: $(P-O) = (O_1 - O) + (P-O_1)$ sarà: $\vec{v_p} = \vec{v_{o_1}} + \vec{v_{p_{rel}}} + \omega \wedge (P-O_1) $ da notare che il primo e l'ultimo (il terzo) componente della equazione precedente si tratta del cosiddetto **contributo di trascinamento** e può essere visto come "la velocità che avrebbe il punto $p$ se fosse inchiodato con la terna mobile". ## Teorema dei moti relativi per le accelerazioni (o teo. di Coriolis) Tenendo in considerazione che $\omega \wedge (P-O_1)$ derivando sarà $\dot \omega \wedge (P-O_1) + \omega \wedge \dot{(P-O_1)}$ e che $\frac{\vec{{v}_{p_{rel}}}}{dt} = \vec a_{p_{rel}} + \vec \omega \wedge \vec{v_{p_{rel}}}$ otterremo: $\vec{a_p} = \vec{a_{o_1}} + \dot{ \vec \omega} \wedge (P-O_1) + \vec \omega \wedge [ \vec \omega \wedge (P-O_1)] + \vec{a_{p_{rel}}} + 2(\vec \omega \wedge \vec{v_{p_{rel}}})$ che può essere vista come: $\vec{a_p} = \vec{a}_{p_{trascinamento}} + \vec{a_{p_{rel}}} + \vec{a_{p_{coriolis}}}$ cioè: $\vec{a}_{p_{trascinamento}} = \vec{a_{o_1}} + \dot{ \vec \omega} \wedge (P-O_1) + \vec \omega \wedge [ \vec \omega \wedge (P-O_1)]$ dove si può evidenziare la componente di traslazione, la componente di accelerazione tangenziale e la componente di accelerazione normale $\vec \omega \wedge [ \vec \omega \wedge (P-O_1)]$ . Evidenziamo inoltre la componente di accelerazione di Coriolis $2(\vec \omega \wedge \vec{v_{p_{rel}}})$ la quale si annulla per $\vec \omega =0$ e $\vec v_{rel} =0$ o nel caso in cui $\vec \omega$ e $\vec v_{rel}$ sono paralleli tra loro, situazione possibile solo nello spazio 3D e non nel piano.