# Calcolo integrale per funzioni a due variabili. L'integrale di una funzione a 2 variabili lungo una curva r(t) → geometricamente (f che vive in R3) è come se prendessi l'area sottesa alla funzione .. compresa tra l'asse x e la funzione r(t). $\int_a^b \! f(r(t))||r(t)|| \mathrm {d}t $ dove *a* *b* sono due punti della *r(t).* Le regioni semplici sono porzioni di piano comprese tra due funzioni. Possiamo calcolare l'area di regioni semplici sia rispetto a y sia rispetto a x con integrali doppi. $\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \! f(x,y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x$ *il primo integrale che faccio è sempre rispetto al range della rispettiva variabile → devo calcolare la "fettina" tra g1(x) e g2(x) ? bene allora faccio in dy con estremi le due funzioni limitanti* Per gli integrale di funzioni ''verticali'' stessa roba invertita. *Prima faccio dx con estremi le due funzioni. Poi ottengo le "fettine" orizzontali in funzione di y. Poi le integro lungo la "pila" verticale* **Cambiamento di coordinate nel piano**, in particolare le coordinate polari ci permettono di semplificare i conti per quanto riguarda integrali a due dimensioni. coordinate polari: $ z = cos(\theta) \\x = sin(\theta)cos(\phi) \\y=sin(\theta)sin(\phi)$ $J(coordinate \space polari) = r^2 sin(\theta)$ **ricordati che nel jacobiano c'è l'angolo usato per l'asse z** !!! Introduciamo quindi gli integrali doppi per regioni semplici (riconosci se la regione semplice rispetto a x o rispetto a y). Integrali doppi rispetto a regioni sferiche possono essere risolti facendo la sostituzione con le coordinate polari e aggiungendo il jacobiano. Integrali possono anche essere divisi in subintegrali suddividendo il dominio. Ci sono anche gli integrali tripli, integrali di funzioni che vivono in R3 e vanno in R4. Gli integrali tripli li posso risolvere: - integro per fili, facendo prima un integrale a una dimensione e poi uno doppio. - integro per strati, facendo prima un integrale doppio e poi uno a una dimensione. Infine posso fare un integrale triplo usando le coordinate sferiche (1 raggio e 2 angoli). In quel caso avremo un jacobiano particolare e delle sostituzioni specifiche da ricordare. MASSA: avendo una funzione *dens* continua densità, di un solido (definito da una regione *REG*). $M_{(regione)} = \int \int \int _ {regione} dens(x,y,z) dxdydz$ CENTRO DI MASSA: (*baricentro)* integrando la singola variabile per la funzione densità (in 3 dimensioni) e normalizzare il tutto per la massa totale. $x = \frac {\int \int \int _ {regione} x*dens(x,y,z) dxdydz} {M(regione)}$ $y = \frac {\int \int \int _ {regione} y*dens(x,y,z) dxdydz} {M(regione)}$ $z = \frac {\int \int \int _ {regione} z*dens(x,y,z) dxdydz} {M(regione)}$ MOMENTO D'INERZIA: come l'integrale della distanza al quadrato rispetto ad un asse, moltiplicata per la funzione densità. $Inertia_{(regione)} = \int \int \int _ {regione} (distanzasse)^2 dens(x,y,z)dxdydz$ dove distanzasse *al quadrato* può essere ad esempio: x^2 + y^2 (*rispetto all'asse z*) *Richiamo ulteriore delle funzioni differenziali*