# **Iperpiano tangente** Iperpiano tangente è quel piano su cui giace la retta tangente alla funzione. L'iperpiano è uguale alla prima parte della funzione di approssimazione. L'iperpiano in dimensione 1 è la retta tangente, in dimensione 2 è un piano tangente. Condizione necessaria di differenziabilità. Equazione iperpiano: $I(x,y) = f(x_o,y_o) + <\nabla f(x,y),(x - x_o , y - y_o)>$ **Teo (dimostrazione con [Schwartz](https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Cauchy-Schwarz))... che ci dice che se è differenziabile, allora f è continua.** quindi: differenziabile → continua differenziabile → derivabile derivabile → continua per quella variabile (continua in generale se per tutte le variabili) derivabile → non per forza differenziabile 29/10/20 Derivazione di funzioni composte ... la posso fare se le funzioni sono rispettivamente *f* differenziabile e *r(t)* parametrizzazione di curva regolare. Inoltre: $F'(t) = < \nabla(r(t)) , r'(t) > $ Derivata direzionale come derivata della funzione composta (? dim) Ortogonalità tra gradiente e insieme di livello k, con r(t) sostegno di una curva regolare (che rappresenta il nostro insieme di livello). $< \nabla(r(t)) , r'(t) > \ = 0$ Calcolo differenziali per funzioni di più variabili a valori vettoriali. (?) Matrice Jacobiana come matrice le cui componenti sono derivate parziali di una funzione a più variabili. Il Jacobiano è il determinante della matrice jacobiana (nel caso fosse quadrata) e rappresenta la migliore approssimazione di una funzione a più variabili in un punto. Introdotte le derivate parziali seconde. E quindi anche della matrice Hassiana , matrici i cui elementi sono le derivate parziali seconde di una funzione a più variabili. Se si calcola la Hessiana in punto ... si ha una matrice di numeri se si calcola con x e y variabili si ha una matrice di funzioni. Per il teorema di Schwartz , la Hassiana è simmetrica. Dunque ci sono componenti che (nonostante vengono da ordini di esecuzione di derivate diversi) sono uguali. **FORMULA DI TAYLOR II ORDINE** *con peano* $P_{taylor}(x_o + h, y_o + k) = f(x_0 + h, y_0 + k) \space + <\nabla(x_0,y_0), (h,k) > + \frac{1}{2} (h,k) * H(x_o,y_o) * ({h},{k}) + o(h^2 + k^2)$ con H(x0,y0) *hessiana e*(h k) * H(x0,y0) * (h,k) *forma quadratica*. Le forme quadratiche possono essere: **definite positive** *autovalori positivi , determinante positivo* **definite negative** *autovalori negativi , determinante positivio* **semidefinite positive** *autovalore = 0, gli altri positivi , determinante nullo* **semidefinite negative** *autovalore = 0 , gli altri negativi , determinante nullo* **indefinite** *a cazzoo , determinante negativo*